Алгебра Ли

Алгебра Ли естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы, близкие к единице) могут рассматриваться как движения бесконечно малой симметрии. Группы и алгебры Ли находят широкое применение в квантовой физике.

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее, многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).