Собственный вектор

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от , проверенной 26 января 2022 года; проверки требуют .

Проще говоря, собственный вектор линейного оператора — это такой вектор, на который данный оператор действует, как скаляр.

Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о собственных функциях операторов.

Другая трансформация Джоконды. Синий вектор меняет направление, а красный — нет. Поэтому красный является собственным вектором, а синий — нет. Так как красный вектор ни растянулся, ни сжался, его собственное значение равно, как и на картинке выше, единице. Все векторы, коллинеарные красному, тоже собственные.
Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей:

Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт теорема Куранта — Фишера.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.