Пространство-время

Рисунок 1-1. Каждое место в пространстве-времени обозначается четырьмя числами, определяемыми системой отсчёта: положение в пространстве и время (которое можно визуализировать как снятие показаний часов, расположенных в каждой позиции в пространстве). 'Наблюдатель' синхронизирует эти часы в соответствии со своей собственной системой отсчёта.
Пример двумерного пространства-времени с двумя системами координат. Схематичный рисунок без соблюдения некоторых пропорций.

Слово «событие», используемое в теории относительности, не следует путать с использованием слова «событие» в обычном разговоре, где оно может означать нечто вроде концерта, спортивного события или сражения. Это не математические «события» в том смысле, в котором это слово используется в теории относительности, потому что они имеют конечную и ненулевую длительность. В отличие от таких событий как фейерверки или молнии, математические события имеют нулевую продолжительность и представляют собой единственную точку пространства-времени.

Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно более старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном понимании. Обычно смысл термина ясен из контекста.

Хотя два наблюдателя могут измерять положение x, y и z двух точек, используя разные системы координат, расстояние между точками будет для обоих одинаковым (при условии, что они измеряют с использованием тех же единиц). Расстояние таким образом «инвариант».

Однако в специальной теории относительности расстояние между двумя точками больше не сохраняется при измерении двумя разными наблюдателями из-за сокращения Лоренца, если один из наблюдателей движется. Ситуация ещё больше осложняется, если две точки разделены и расстоянием и временем. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном и том же месте, но в разное время, наблюдатель, движущийся относительно первого, увидит два события, происходящие в разных местах. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями придётся использовать другой способ измерения.

Рисунок 2-1. Диаграмма пространства-времени, иллюстрирующая два фотона, A и B, возникающие в одном и том же событии, и объект С с досветовой скоростью.

Примечание по обозначениям: В литературе по теории относительности есть две формы записи:

Рисунок 2-2. Диаграмма Галилея двух систем отсчёта в стандартной конфигурации.
Рисунок 2-3. (а) Диаграмма Галилея двух систем отсчёта в стандартной конфигурации. (б) Пространственно-временная диаграмма двух систем отсчёта. (c) Пространственно-временная диаграмма, показывающая путь импульса отражённого света.

При сравнении измерений, выполненных движущимися относительно друг друга наблюдателями в разных инерциальных системах отсчёта, полезно работать с системами отсчёта в стандартной конфигурации. На рис.2-2 показаны две движущиеся относительно друг друга галлиеевы системы отсчёта (то есть обычные трёхмерные пространственные системы отсчёта). Система S принадлежит первому наблюдателю O, а система S' принадлежит второму наблюдателю O'.

Рисунок 2-4. Световой конус (красные линии 'word lines of light'), центрированный на событии, делит остальную часть пространства-времени на будущее (FUTURE), прошлое (PAST) и «где-то ещё» (ELSEWHERE).
Рисунок 2-5. Световой конус в 2D пространстве плюс временное измерение. Перевод обозначений: Observer — наблюдатель; Space — пространство; Time — время; Past light cone — световой конус прошлого; Future light cone — световой конус будущего; Hypersurface of the present — гиперплоскость настоящего
Рисунок 2-7. (a) Семейства инвариантных гипербол. (б) Однополостный и двуполостный гиперболоиды

В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные размеры) множество точек, эквидистантных (с использованием евклидовой метрики) из некоторой точки, образуют круг (в двух измерениях) или сферу (в трёх измерениях). В (1+1)-мерном пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерение) точки с постоянным пространственно-временным интервалом от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, задаваемые двумя уравнениями:

(1+2)-мерная граница между пространственно и времениподобными гиперболоидами, образуется событиями, имеющими нулевой интервал пространства-времени до начала координат, складывающимися при вырождении гиперболоидов в световой конус. В (1+1)-мерном пространстве Минковского гиперболы вырождаются в две серые линии с углами 45°, изображённые на рис. 2-7а.

Рисунок 2-8. Инвариантная гипербола содержит точки, которые могут быть достигнуты из начала координат за одинаковое собственное время часами, движущимися с разной скоростью.

сокращение длины, подобно замедлению времени, является проявлением относительности одновременности. Измерение длины требует измерения интервала пространства-времени между двумя событиями, которые одновременно находятся в одной системе отсчёта. Но события, которые одновременно в одной системе отсчёта, в общем, не являются одновременными в других системах отсчёта.

(не показано). Рисование вертикальной линии через А так, чтобы она пересекалось с осью х' , демонстрирует, что, даже когда ОВ укорочено с точки зрения наблюдателя О, ОА также укорочено с точки зрения наблюдателя O'. Точно так же, как каждый наблюдатель наблюдает часы другого как более медленные, каждый наблюдатель наблюдает линейки другого как укороченные.

Рисунок 2-11. Пространственно-временное объяснение парадокса близнецов. Чёрная вертикальная линия — мировая линия близнеца-домоседа. Красная изогнутая линия — мировая линия путешественника

Осложнения возникают, если парадокс двойника анализируется с точки зрения движущегося двойника.

Сложение скоростей в релятивистском пространстве-времени сильно отличается от классического. Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, введём сокращение для отношения скорости объекта относительно скорости света,

Релятивистская формула для сложения скоростей, представленная выше, демонстрирует несколько важных свойств:

Рисунок 3-3. Пространственно-временные диаграммы, иллюстрирующие замедление времени и сокращение длины

Ранее мы качественно обсуждали замедление времени и сокращение длины. Для этих эффектов легко получить количественные выражения. Рис.3-3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные системы отсчёта, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощённых и повторно обозначенных для целей настоящего раздела.

Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, в литературе встречается множество различных сокращённых обозначений для ct :

Галилеевские преобразования и их последовательный закон суммирования скоростей хорошо работают в нашем обычном низкоскоростном мире самолётов, автомобилей и шаров. Однако начиная с середины 1800-х годов чувствительная научная аппаратура начала обнаруживать аномалии, которые не соответствовали обычным прибавлениям скоростей.

В специальной теории относительности чтобы преобразовать координаты события из одной системы отсчёта в другую, мы используем преобразования Лоренца.

Результатом линейности является то, что если два преобразования Лоренца применяются последовательно, то результат также будет являться преобразованием Лоренца.

Эффект Доплера — изменение частоты или длины волны для движущихся относительно друг друга источника и приёмника. Для простоты рассмотрим здесь два основных случая: (1) Движения источника и/или приёмника находятся точно вдоль линии, их соединяющей (продольный эффект Допплера), и (2) движения находятся под прямым углом к указанной линии (поперечный эффект Допплера). Мы игнорируем случаи, в которых они перемещаются по промежуточным углам.

Рисунок 3-6. Пространственно-временная диаграмма релятивистского эффекта Допплера

В сценарии (a), когда источник ближе всего к приёмнику, свет, попадающий на приёмник, фактически идёт из направления, в котором источник был некоторое время назад, и имеет значительную продольную компоненту, усложняя анализ из системы отсчёта приёмника. Проще сделать анализ из S', системы отсчёта источника. Точка максимального приближения является независимой от системы отсчёта и представляет собой момент, когда нет никакого изменения расстояния со временем (то есть dr/dt = 0, где r — расстояние между приёмником и источником) и, следовательно, никакого продольного допплеровского сдвига. Источник наблюдает приёмник как освещённый светом частоты f' и имеющий замедленные часы. Следовательно в системе отсчёта S приёмник освещён светом, имеющим синее смещение

Сценарий (b) лучше всего анализировать из S, системы отсчёта приёмника. На рисунке показано, что приёмник освещён светом, когда источник был ближе всего к приёмнику, хотя источник уже переместился. Поскольку часы источника замедлены, и dr/dt в этот момент равно нулю, свет от источника, испущенный из этой ближайшей точки, имеет красное смещение

Мы будем использовать эту информацию в дальнейшем, чтобы получить выражение для четырёхимпульса.

Рисунок 3-9. Энергия и импульс света в разных инерциальных системах отсчёта

Рассмотрение взаимосвязи между различными компонентами вектора релятивистского импульса привело Эйнштейна к нескольким известным выводам.

Чтобы понять, как необходимо изменить ньютоновский взгляд на сохранение импульса в релятивистском контексте, мы рассмотрим проблему двух сталкивающихся тел, ограниченных одним измерением.

В механике Ньютона можно выделить два крайних случая этой проблемы, которые дают математику минимальной сложности: (1) Два тела отскакивают друг от друга при полностью упругом столкновении. (2) Два тела склеиваются и продолжают двигаться как одна частица. Этот второй случай — случай полностью неупругого столкновения. Для обоих случаев (1) и (2) сохраняются импульс, масса и полная энергия. Однако кинетическая энергия не сохраняется в случаях неупругого столкновения. Определённая доля исходной кинетической энергии преобразуется в тепло.

Свобода выбора любой системы отсчёта для проведения анализа позволяет выбрать ту, которая будет удобной. Для анализа задач с импульсами и энергией наиболее удобной системой отсчёта обычно является «система центра масс» (также называемый системой с нулевым импульсом или СЦМ-системой). Это система, в которой пространственная составляющая полного импульса системы равна нулю. Рис.3-11 иллюстрирует распад высокоскоростной частицы на две дочерние частицы. В лабораторной системе дочерние частицы предпочтительно излучаются в направлении, ориентированном вдоль траектории исходной частицы. Однако в системе СЦМ две дочерние частицы излучаются в противоположных направлениях, хотя их массы и величина их скоростей не одинаковы.

Рисунок 3-12a. Диаграмма энергии-импульса для распада заряженного пиона
Темы в этом разделе математически более сложные, чем те, которые были в предыдущих разделах, и не являются существенными для понимания

Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одной системе отсчёта с координатами в другой системе отсчёта. Для сложения двух скоростей используется релятивистский закон сложения скоростей, формулы которого нелинейны, что делает его более сложными, чем соответствующий закон Галилея.

Преобразования Лоренца принимают простой вид, если выразить их в терминах быстроты. Фактор γ может быть записан как

Преобразования, описывающие относительное движение с равномерной скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами.

Помимо инвариантности преобразования Лоренца, указанное выше скалярное произведение также инвариантно относительно вращения в 3-пространстве.
Рисунок 4-3a. Кратковременные сопутствующие системы отсчёта ускоряющей частицы, наблюдаемые из неподвижной системы отсчёта.
Рисунок 4-3b. Кратковременно сопутствующие системы отсчёта вдоль траектории ускоряющего наблюдателя (в центре).
Вектор 4-скорости касается мировой линии частицы и имеет длину, равную одной единице времени в системе отсчёта частицы.

В этом разделе мы проанализируем несколько сценариев, связанных с ускоренными системами отсчёта.

Парадокс космического корабля Белла — хороший пример проблемы, когда интуитивное рассуждение, не связанное с геометрическим пониманием подхода пространства-времени, может привести к проблемам.

Рисунок 4-5. Синие линии представляют собой мировые линии двух наблюдателей A и B, которые ускоряются в одном направлении с одинаковым ускорением постоянной величины. В точках A' и B' наблюдатели перестают ускоряться. Пунктирная линия представляет собой линию одновременности для любого наблюдателя после окончания ускорения.

Форма инвариантной гиперболы соответствует пути постоянного собственного ускорения. Это можно показать следующим образом:

Чтобы перейти от элементарного описания искривлённого пространства-времени выше к полному описанию гравитации, требуется тензорное исчисление и дифференциальная геометрия, которые требуют серьёзного изучения. Без этих математических инструментов можно написать об общей теории относительности, но невозможно продемонстрировать какие-либо нетривиальные выводы.

В этом разделе основное внимание будет уделено изучению нескольких элементарных случаев, которые служат для поверхностного знакомства с общей теории относительности.

Но общая теория относительности — теория искривлённого пространства и искривлённого времени, поэтому, если существуют члены, изменяющие пространственные компоненты интервала пространства-времени, представленного выше, не следует ли рассматривать эффекты на планетарных и спутниковых орбитах как результат коэффициентов кривизны, стоящих у пространственных членов?

В 1916 году Эйнштейн наконец показал, что эта аномальная прецессия Меркурия объясняется пространственными членами в кривизне пространства-времени. Кривизна во временном члене, будучи просто выражением ньютоновской тяготения, не имеет никакого отношения к объяснению этой аномальной прецессии. Успех его расчёта был мощным показателем для сверстников Эйнштейна, что общая теория относительности может быть верной.

На рис. 5-5 классифицируются различные источники силы тяжести в тензоре энергии напряжений:

Изучение эффектов давления путём сжатия испытываемых масс является бесполезным, поскольку достижимые лабораторные давления незначительны по сравнению с массой-энергией металлического шарика.

Рисунок 5-11. Зонд «Gravity Probe-B» подтвердил существование гравитомагнетизма.
1. Можно ли представить общую теорию относительности в терминах плоского пространства-времени?
2. Существуют ли ситуации, когда плоская пространственно-временная интерпретация общей теории относительности может быть более удобной, чем обычная искривлённая пространственно-временная интерпретация?

Плоская пространственно-временная парадигма утверждает, что материя создаёт гравитационное поле, которое заставляет линейки сжиматься, когда они повёрнуты от периферической ориентации к радиальной, и это приводит к тому, что скорости тикания часов замедляются. Плоская пространственно-временная парадигма полностью эквивалентна искривлённой парадигме пространства-времени в том, что они обе представляют одни и те же физические явления. Однако их математические формулировки совершенно разные. Работая физики обычно переключаются между использованием методов искривлённого и плоского пространства-времени в зависимости от требований задачи. Плоская пространственно-временная парадигма оказывается особенно удобной при выполнении приближённых вычислений в слабых полях. Следовательно, при решении задач гравитационных волн будут использоваться методы плоского пространства-времени, а при анализе чёрных дыр будут использоваться методы искривлённого пространства-времени.

Существует два вида размерностей: пространственные и временные. Пространственную размерность обозначают буквой N, а временную буквой Т. Пространственно-временной континуум с размерностью N=3 и Т=1 имеет преимущество с точки зрения антропного принципа.

Концепция пространства-времени сыграла исторически ключевую роль в создании геометрической теории гравитации. В рамках общей теории относительности гравитационное поле сводится к проявлениям геометрии четырёхмерного пространства-времени, которое в этой теории не является плоским (гравитационный потенциал в ней отождествлён с метрикой пространства-времени).