Показатель преломления

Значение абсолютного показателя преломления зависит от состава и строения вещества, его агрегатного состояния, температуры, давления и так далее[⇨]. Для веществ показатель преломления изменяется под действием внешнего электрического поля: в жидкостях и газах[⇨], в кристаллах[⇨] или магнитного поля[⇨]. Для измерения показателя преломления применяют гониометры, рефрактометры[⇨] или эллипсометры[⇨].

Показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, это приводит к расщеплению белого света на составляющие цвета при преломлении. Это называется дисперсией[⇨]. Её можно наблюдать в призмах и радугах, а также в виде хроматической аберрации в линзах. Распространение света в поглощающих материалах можно описать с помощью комплексного показателя преломления[2]. Если показатель преломления рассматривать как комплексную величину:

Зависимость траектории луча света от угла падения при переходе из воды в воздух.

Когда свет проходит границу раздела двух сред, то для вычисления угла преломления используют относительный показатель преломления, равный отношению абсолютных показателей преломления первой и второй сред. Относительный показатель преломления может быть больше единицы, если луч переходит в более оптически плотную среду, и меньше единицы — в противном случае[3][1].

Если луч света переходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим показателем преломления (например, из воздуха в воду), то угол между лучом и нормалью к границе раздела уменьшается после преломления. И наоборот, в случае перехода в менее оптически плотную среду угол увеличивается. Во втором случае угол преломления может превышать 90°, так что преломления не происходит вообще и весь свет отражается; это явление называется полным внутренним отражением[4].

Частота света не меняется при преломлении. Поэтому длина волны света в среде уменьшается по сравнению с длиной волны в вакууме пропорционально уменьшению скорости света[5].

Для видимого света большинство прозрачных сред имеют показатели преломления от 1 до 2. Несколько примеров приведены в таблице внизу. Эти значения обычно измеряются на длине волны 589 нм, соответствующей дублетной D-линии натрия в жёлтой части спектра[6]. Газы при атмосферном давлении имеют показатель преломления, близкий к 1, из-за их низкой плотности. Почти все твёрдые тела и жидкости имеют показатель преломления выше 1,3, за исключением аэрогеля. Аэрогель — это твёрдое вещество очень низкой плотности, которое может демонстрировать показатель преломления в диапазоне от 1,002 до 1,265[7]. Муассанит находится на другом конце диапазона с показателем преломления до 2,65. Большинство пластиков имеют показатели преломления в диапазоне от 1,3 до 1,7, но некоторые полимеры с высоким показателем преломления могут иметь значения до 1,76[8]

Для инфракрасного света показатели преломления могут быть значительно выше. Германий прозрачен в диапазоне длин волн от 2 до 14 мкм и имеет показатель преломления около 4[9]. Недавно был обнаружен тип новых материалов, получивших название топологических изоляторов, которые имеют высокий показатель преломления до 6 в ближней и средней зонах инфракрасного диапазона частот. Более того, топологические изоляторы прозрачны при наноразмерных толщинах. Эти свойства потенциально важны для приложений в инфракрасной оптике[10].

Свет, распространяющийся в неоднородной среде, проходит из одной точки в другую за минимальное время. Из этого принципа можно вывести закон преломления света на границе раздела между средами с разными показателями преломления, который называется законом Снеллиуса[11]. Он выражается в виде дроби[1]

где θ1 и θ2 — углы падения и преломления луча света соответственно, которые отсчитываются от нормали к границе между средами, проведённой через точку падения луча. v1 и v2 — фазовые скорости в первой (из которой падает свет) и нижней средах (в которую свет проникает)[12]. Этот закон можно записать через показатели преломления двух сред, зная, что v1=c/n1 и v2=c/n2 (c — скорость света в вакууме)[11]:

Закон Снеллиуса выполняется только для неподвижных сред. Для релятивистских скоростей поперечного движения прозрачной среды вследствие аберрации эффективный коэффициент преломления будет зависеть от скорости среды, что позволяет определять скорость движения среды[13].

При падении на границу раздела двух сред только часть света проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим, а часть — отражается обратно. Чем сильнее отличаются показатели преломления сред, тем бо́льшая часть света отражается. В случае падения света по нормали к поверхности коэффициент отражения выражается как[14]:

В этом случае при переходе луча света из воздуха в стекло (показатель преломления 1,33) отражается 4 % падающего света[15], а в случае алмаза (показатель преломления 2,42[16]) — более 17 %.

Рассчитать коэффициент отражения света для произвольных углов падения и поляризации можно с помощью формул Френеля[17].

Свет разных цветов имеет немного разные показатели преломления в воде, что приводит к появлению радуги.

Показатель преломления зависит от частоты света. Это явление называется дисперсией. В тех диапазонах частот, где вещество прозрачно, преломление увеличивается с частотой[18]. Например, вода и бесцветное стекло преломляют голубой свет сильнее, чем красный[1].

В природе этот эффект приводит к возникновению такого явления как радуга. Разложение света стеклянной призмой заложило основы спектрального анализа, который широко применяется в науке и технике. В то же время дисперсия приводит к трудностям в изготовлении оптических систем. Когда на стеклянную линзу падает пучок немонохроматического света, то лучи разных цветов фокусируются на разном расстоянии и вокруг контрастных деталей изображения образуется радужная кайма. Это явление получило название хроматической аберрации. Её компенсируют путём изготовления линз из разных сортов оптического стекла, имеющих разные показатели преломления[19].

В широком диапазоне длин волн электромагнитного излучения зависимость показателя преломления от частоты является нелинейной и состоит из участков, где показатель преломления возрастает с частотой — этот случай называется нормальной дисперсией (поскольку такая ситуация типична), — и небольших участков, где показатель преломления стремительно падает, что называется аномальной дисперсией. Участки аномальной дисперсии обычно расположены вблизи линий поглощения вещества[23].

Отражение и преломление света, падающего под углом Брюстера на границу раздела двух сред

Интенсивности преломлённой и отражённой волн зависят от поляризации падающего света: s-поляризованный свет имеет более высокий коэффициент отражения, тогда как p-поляризованный лучше проникает в среду. Поэтому даже если на границу раздела сред падает неполяризованный свет, и преломлённый, и отражённый лучи становятся частично поляризованными (если угол падения не равен нулю). Если угол между отражённым и преломлённым лучами составляет 90°, отражённый свет становится полностью поляризованным. Угол падения, при котором это происходит, называется углом Брюстера. Его значение зависит от относительного показателя преломления сред[24]:

В случае падения под таким углом преломлённый луч не становится полностью поляризованным, но степень его поляризации является максимальной[24].

Существует другое определение показателя преломления, связывающее его с диэлектрической проницаемостью среды ε, определяемое следующим образом

Это определение приводит к действительным значениям для немагнитных сред[28] и описывает внутреннюю характеристику среды, которая позволяет установить, как падающая световая волна поляризует среду. И диэлектрическая проницаемость, и диэлектрическая восприимчивость являются действительными или комплексными величинами, поэтому показатель преломления также может иметь комплексные значения. Мнимая часть показателя преломления связана с поглощением среды, так что существует определённая зависимость между поляризацией материала и ослаблением световой волны в среде[25]. Фактически коэффициент поглощения вычисляется из мнимой части показателя преломления по следующей формуле

Причины замедления света в веществе могут быть (с упрощениями) объяснены с позиций классической электродинамики. Любая заряженная частица в поле электромагнитной волны испытывает действия периодических сил, которые вызывают её колебания. Обычно важнее действие периодического электрического поля, а не магнитного, поскольку скорости частиц в среде относительно невысокие. Под действием периодического электрического поля носители электрического заряда также начинают колебаться с определённой частотой, а следовательно сами становятся источниками электромагнитных волн[29]. Атомы всех веществ содержат электроны — лёгкие заряженные частицы, которые легко колеблются в электрическом поле волны. В случае волн оптического диапазона (частотой порядка 1015 Гц) поле, создаваемое электронами, обычно почти полностью описывает наведённое поле. Для волн меньшей частоты (инфракрасного или микроволнового излучения) заметными становятся и эффекты, вызванные перераспределением электронов между атомами в молекуле, колебания ионов в ионных кристаллах или вращение полярных молекул[30]. Волны, создаваемые каждым электроном, интерферируют между собой, создавая волну, которая распространяется в том же направлении, что и падающая волна (а также в обратном — что воспринимается как отражение от границы сред)[31]. Интерференция падающей и наведённой волн создаёт эффект замедления электромагнитной волны (хотя на самом деле, обе волны движутся с одинаковой скоростью — скоростью света)[32]. В общем случае вычисление поля, создаваемого колебаниями электронов, является сложной задачей, поскольку каждый электрон испытывает действие не только падающей волны, но и волны, созданной колебаниями всех остальных электронов[31]. Простейшая модель выводится из предположения, что электроны друг на друга не действуют, что справедливо для очень разреженных сред с низким показателем преломления, таких как газы[31].

Если источник излучения находится достаточно далеко и фронт падающей волны плоский, то все электроны, которые находятся в этой плоскости, движутся одинаково. Поле, создаваемое такой заряженной плоскостью, равно[34]:

Это уравнение описывает волну, идентичную падающей, но с задержкой по фазе, которую выражает первая экспонента. В случае малой толщины пластинки можно разложить первую экспоненту в ряд Тейлора[36]:

Сравнивая это выражение с выражением, полученным для поля ур. 2.4, созданного колебаниями электронов плоскости, можно получить:

Эта формула также описывает зависимость показателя преломления от частоты падающей волны, то есть дисперсию[37]. В общем случае необходимо учитывать, что каждый атом содержит много электронов, имеющих различные резонансные частоты. Их вклады должны суммироваться в правой части уравнения[38]. В интенсивных световых потоках напряжённость электрического поля волны может быть соразмерна с внутриатомной. В таких условиях модель гармонического осциллятора становится неприменимой[3].

Модель ангармонического осциллятора с затуханием оказывается полезной для качественного рассмотрения зависимости показателя преломления в кристаллах без центра инверсии от постоянного электрического поля. Уравнение Ньютона для ангармонического осциллятора записывается в виде[39]

Электрическое поле — это выделенное направление в кристалле, поэтому в среде возникает зависимость дисперсии от направления распространения света — двулучепреломление. Это явление называется эффектом Поккельса. Как видно из качественной модели, это линейный по электрическому полю эффект[40]. Этот эффект находит применение в модуляторах света[41].

Таким образом, показатель преломления определяется характеристиками среды[43]:

В случае кристаллов и других анизотропных сред диэлектрическая проницаемость зависит от кристаллографического направления и описывается тензором, поэтому показатель преломления является тензорной величиной[48].

Важным соотношением, связывающим показатель преломления с микроскопическими свойствами вещества, является формула Лоренца — Лоренца[49]:

Если преломляющая среда является смесью нескольких веществ, в правой части уравнения будет стоять несколько слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной компоненте.

В простом случае газа при небольшом давлении показатель преломления выражается как[51]

Формула Лоренца — Лоренца выведена в предположении изотропности среды, поэтому справедлива для газов, жидкостей, аморфных тел. Однако и для многих других веществ она часто выполняется с хорошей точностью (погрешность не превышает нескольких процентов). Пригодность формулы для конкретного вещества определяется экспериментально. Для некоторых классов веществ, например, пористых материалов, погрешность может достигать десятков процентов[52]. Область применения формулы ограничивается видимым и ультрафиолетовым диапазонами спектра и исключает диапазоны поглощения в веществе[49]. Для низших частот необходимо учитывать не только электронную поляризацию, но и атомную (поскольку ионы в ионных кристаллах и атомы в молекулах успевают сместиться в поле низкой частоты).

Для полярных диэлектриков в случае волн большой длины также необходимо учитывать ориентационную поляризуемость, природа которой заключается в изменении ориентации дипольных молекул вдоль силовых линий поля. Для газов, состоящих из полярных молекул, или сильно разбавленных растворов полярных веществ в неполярных растворителях вместо формулы Лоренца — Лоренца необходимо использовать формулу Ланжевена — Дебая[30]:

Как правило, вещества с большей плотностью имеют более высокий показатель преломления. Для жидкостей показатель преломления обычно больше, чем для газов, а для твёрдых тел — больше, чем для жидкостей[53]. Однако количественная связь между показателем преломления и плотностью может быть разной для разных классов веществ. Существует несколько эмпирических формул, позволяющих оценить эту связь численно[54]. Наиболее известное соотношение следует из формулы Лоренца — Лоренца:

В случае газов при низком давлении это выражение сводится к ещё более простому, известному как закон Гладстона — Дейла[56]:

Миражи образуются в неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления в зависимости от плотности.

Уменьшение плотности воздуха с высотой (соответственно, уменьшение показателя преломления) вызывает рефракцию света в атмосфере, что приводит к смещению видимого положения небесных светил. Вблизи горизонта такое смещение достигает 30 угловых минут (то есть размера диска Солнца или Луны)[57]. Неоднородный показатель преломления атмосферы может приводить к более раннему восходу Солнца, что наблюдается в северных широтах[58].

Для некоторых немагнитных сред точную оценку можно получить с помощью формулы, полученной Макдональдом:

Она лучше описывает показатель преломления для воды, бензола и других жидкостей[54].

Также существует зависимость показателя преломления от других связанных с плотностью величин, в частности она уменьшается при увеличении температуры (из-за уменьшения концентрации частиц вследствие термического расширения)[53]. По тем же причинам при увеличении давления показатель преломления возрастает[59].

Как правило, показатель преломления стекла увеличивается с увеличением его плотности. Однако не существует общей линейной зависимости между показателем преломления и плотностью для всех силикатных и боросиликатных стёкол. Относительно высокий показатель преломления и низкая плотность могут быть получены для стёкол, содержащих оксиды лёгких металлов, таких как Li2O и MgO, тогда как противоположная тенденция наблюдается для стёкол, содержащих PbO и BaO, как показано на диаграмме справа.

Многие масла (например, оливковое масло) и этанол являются примерами жидкостей, которые обладают более высокими коэффициентами преломления, но менее плотны, чем вода, вопреки общей корреляции между плотностью и показателем преломления.

В неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления траектория лучей света искривляется и наблюдаются миражи. Для «нижнего» миража приповерхностный слой нагрет, поэтому показатель преломления меньше, чем у более холодного воздуха выше. Траектория световых лучей будет искривляться так, что выпуклость траектории обращена вниз и часть голубого неба будет видеться наблюдателю ниже уровня горизонта, что похоже на «воду». Для «верхних» миражей выпуклость траектории обращена вверх из-за более плотного и холодного приповерхностного слоя. В этом случае возможно заглянуть за горизонт и увидеть предметы, скрытые от прямого наблюдения[62].

В нефтехимии применяется производный от плотности показатель — рефрактометрическая разница или интерцепт рефракции:

Эта величина одинакова для углеводородов одного гомологического ряда[63].

Это понятие определяет фазу света и управляет интерференцией и дифракцией света при его распространении. Согласно принципу Ферма, световые лучи можно охарактеризовать как кривые, оптимизирующие длину оптического пути[65].

По этой причине масляная иммерсия часто используется для получения высокого разрешения в микроскопии. В этом методе объектив погружается в каплю иммерсионного масла с высоким показателем преломления для исследования образцов[67].

Волновое сопротивление плоской электромагнитной волны в непроводящей среде (без затухания) определяется выражением

Таким образом, показатель преломления в немагнитной среде определяется как отношение волнового сопротивления вакуума к волновому сопротивлению среды.

Это выражение совпадает с коэффициентом отражения света при нормальном падении (ур. 1.3).

Иногда определяется «показатель преломления групповой скорости», обычно называемый групповым индексом (англ. group index)[71].

где vg — групповая скорость. Это значение не следует путать с показателем преломления n, который всегда определяется относительно фазовой скорости — они совпадают только для сред без дисперсии. Когда дисперсия мала, групповая скорость может быть связана с фазовой скоростью соотношением[72]

где λ — длина волны в среде. Таким образом, в этом случае групповой показатель может быть записан в терминах зависимости показателя преломления от длины волны как

Когда показатель преломления среды известен как функция длины волны вакууме, соответствующие выражения для групповой скорости и индекса имеют вид (для всех значений дисперсии)[73]

Показатель преломления воздуха был предметом многочисленных исследований. Он имеет первостепенное значение для любого исследования и измерения, происходящего в атмосфере. Его значение зависит от многих параметров и было предметом измерений и формул, точность которых очень варьируется. Первое грубое измерение было выполнено с помощью рефрактометра в начале XVIII века Исааком Ньютоном, который в 1700 году[74] замерил изменение видимых высот звёзд из-за преломления в атмосфере[75], что привело Эдмунда Галлея к публикации этих результатов в 1721 году для иллюстрации преломления в воздухе[76]. Через век Франсуа Араго и Жан-Батист Био оценили значение индекса для воздуха в 1806 году[75].

где n — показатель преломления, A, B, C — коэффициенты. Сейчас она устарела, но продолжает использоваться[75][77]. Для материалов с полосой поглощения в инфракрасном диапазоне и некоторых других материалов с полосой поглощения в ультрафиолетовом диапазоне (например, воды) используется формула Скотта — Бриота[78]

Эти эмпирические законы, определяемые очень точными измерениями длины волны, применяются к прозрачным средам в видимом диапазоне света. Модели устанавливаются с учётом того, что, находясь далеко от полос поглощения, можно рассматривать индекс как действительное число (без фактора поглощения) и определить зависимость показателя преломления от длины волны. Эти формулы, как правило, точны до пятого знака после запятой[78].

Две более свежие формулы, которые сейчас широко используются, дают лучшее приближение к показателю преломления воздуха: это формулы Филипа Э. Сиддора[79] и Эдлена[80][75]. Эти формулы учитывают большее или меньшее количество факторов, в частности наличие водяного пара и диоксида углерода, и действительны для того или иного диапазона длин волн.

Показатель преломления воздуха можно очень точно измерить с помощью интерферометрических методов, вплоть до порядка 10−7 или меньше[81]. Он примерно равен 1, 000 293 при 0 °C и 1 бар[65]. Эта величина очень близка к единице, поэтому в технической оптике используют другое определение для показателя преломления через отношение скорости света в воздухе к скорости света в среде[82].

Значение показателя преломления воздуха, справедливое при определённых условиях и одобренное Joint Commission for Spectroscopy в Риме в сентябре 1952 года, записывается следующим образом[81]:

Эта формула справедлива для длин волн от 0,2 мкм до 1,35 мкм (видимого и инфракрасного диапазонов) и сухого воздуха, содержащего 0,03 % углекислого газа по объёму, при 15 °C и давлении 101,325 кПа.

В ионосфере, однако, вклад электронной плазмы в коэффициент преломления существенен, а водяного пара — отсутствует, поэтому используют другую форму уравнения для показателя преломления:

Вклад холодной плазмы в ионосфере может изменить знак показателя преломления на больших высотах в микроволновом диапазоне. В общем случае ионосфера демонстрирует двулучепреломление[87].

Чистая вода прозрачна для света видимого, ультрафиолетового и инфракрасного диапазона спектра. В области длин волн от 0,2 мкм до 1,2 мкм и температур от −12 °C до 500 °C действительную часть показателя преломления воды можно получить из следующего эмпирического выражения[90]:

Зависимость показателя преломления от числа Аббе для ряда различных оптических стёкол (красные кружки). Стёкла классифицируются с использованием буквенно-цифрового кода, указывающего их состав и положение на диаграмме, низкодисперсные стёкла находятся в левой нижней части диаграммы. Данные взяты из каталога Schott Glass.

Широкое применение стёкол в оптике предполагает детальное знание показателя преломления конкретного типа материала. Наиболее свежие данные по свойствам различных стёкол можно найти в каталогах фирм-изготовителей, поскольку они составлены с использованием международных стандартов типа ISO 7944—84 (в России ГОСТ 23136—93 и ГОСТ 3514—94, в Германии DIN 58925 и DIN 58927)[100]. Главные характеристики стёкол показаны в коде стекла. Например, для N-SF6 код стекла несёт информацию о показателе преломлении nd, числе Аббе Vd и плотности ρ. Из кода 805254.337 следует, что nd=1,805, Vd=25,4 и ρ=3,37 г/см3[6]. Индекс d обозначает длину волны жёлтой линии гелия при длине волны 587,5618 нм. Типы оптических стёкол можно разделить на группы представленные на графике в координатах (nd, Vd). Часто используются и другие линии в зависимости от возможных применений. Например, индекс t используется для инфракрасной линии ртути (1013,98 нм), e — зелёной линии ртути (546,0740 нм), C — красной линии водорода (656,2725 нм), D — жёлтой линии натрия (589,2938 нм), i — ультрафиолетовой линии ртути (365,0146 нм) и другие[6]. Типичными требованиями для оптических стёкол являются требования точности для показателя преломления ±2⋅10−5 и дисперсии ±1⋅10−5. В сертификатах указывают также температуру (22 °C) и давление (1013,3 гПа). Высокие требования накладываются на однородность показателя преломления и коэффициент внутреннего пропускания. Стекло в высшей степени однородно, но допускает наличие дефектов макроструктуры, называемые свилями, пузырей и микровключений, если они не искажают фронт волны при учёте соотношения суммарной поперечной площади дефектов к объёму стекла. Для стандарта ISO3/IN010 площадь дефектов не превышает 0,03 мм2 в объёме 100 см3 и не более 10 включений[6]. Двойное лучепреломление — это нежелательное явление, которое также характеризуется по стандарту ISO 11455 методом Сенармона — Фриделя, который ограничивает разность хода 6 нм/см (на сантиметр толщины) для оптических стёкол. Для избавления от внутренних напряжений применяют отжиг. Оптические стёкла также характеризую климатической стойкостью, стойкостью к травлению, кислотостойкостью, щёлочестойкостью и стойкостью к фосфатам, поскольку все эти нежелательные внешние факторы приводят к дефектам и изменениям поверхности[6][101].

Для обозначения оптического стекла используют сокращения. Например для крона и флинта используют заглавные буквы: ЛК — лёгкий крон; ФК — фосфатный крон; ТФК — тяжёлый фосфатный крон; К — крон; БК — баритовый крон; ТК — тяжёлый крон; СТК — сверхтяжёлый крон; ОК — особый крон; КФ — крон-флинт; КФ — крон-флинт; БФ — баритовый флинт; ТБФ — тяжёлый баритовый флинт; ЛФ — лёгкий флинт; Ф — флинт; ТФ — тяжёлый флинт; ОФ — особый флинт[102].

До сих пор предполагалось, что преломление задаётся линейными уравнениями, включающими пространственно постоянный скалярный показатель преломления. Эти предположения могут нарушаться по-разному, что включает следующие возможности.

В кристаллооптике свойства кристаллов зависят от направления распространения света. Диэлектрическая проницаемость также имеет вид тензора второго ранга, и при действии электрического поля световой волны смещение электрических зарядов в общем случае не совпадает с направлением электрического поля. Вектора электрического индукции D и электрического поля E не совпадают ни по направлению, ни по величине[103]. Есть, однако, возможность выбора прямоугольной системы координат, где направления D и E совпадают. В этой системе координат записывается уравнение для характеристической поверхности, называемой эллипсоидом Френеля[104]

Здесь индексы у коэффициента преломления отвечают за величину коэффициента преломления в определённом направлении в кристалле, то есть указывает на анизотропию скорости света в разных направлениях. Скорости распространения света в этих направлениях равны

Иллюстрация нахождения направления распространения обыкновенной и необыкновенной волн в одноосном кристалле.
Двулучепреломляющие материалы могут изменять цвет при помещении между скрещёнными поляризаторами. Это основа такого метода исследований как фотоупругость.

В некоторых материалах показатель преломления зависит от поляризации и направления распространения света[106]. Это явление называется двойным лучепреломлением, или оптической анизотропией.

Многие кристаллы обладают естественным двойным лучепреломлением, но изотропные материалы, такие как пластмассы и стекло, также могут часто обладать двойным лучепреломлением посредством вследствие возникновения предпочтительного направления, например, при действии внешней силы или электрического поля. Этот эффект называется фотоупругостью и может использоваться для выявления напряжений в конструкциях. Двулучепреломляющий материал помещается между скрещёнными поляризаторами. Изменение эффекта двойного лучепреломления изменяет поляризацию и, следовательно, долю света, которая проходит через второй поляризатор[107]. Разность между показателями преломления для обыкновенной и необыкновенной волн пропорциональна давлению P

Более общий случай трипреломляющих материалов описывается кристаллооптикой, а диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга (матрица 3 на 3). В этом случае распространение света невозможно просто описать показателями преломления, за исключением поляризаций вдоль главных осей.

По аналогии с эффектом Керра можно наблюдать двулучепреломление в изотропных средах в сильном магнитном поле[113]. При распространении света перпендикулярно этому полю разность показателей преломления оказывается пропорциональной квадрату напряжённости магнитного поля H

Линза с градиентным показателем преломления, который по параболическому закону зависит от радиального расстояния (x). Объектив фокусирует свет так же, как и обычный объектив.

Если показатель преломления среды не постоянен, а постепенно изменяется в пространстве, такой материал известен как среда с градиентным показателем или GRIN-среда и рассматривается в градиентной оптике[65]. Свет, проходящий через такую среду, преломляется или фокусируется, что можно использовать для создания линз, оптических волокон и других устройств. Внедрение GRIN-элементов в конструкцию оптической системы может значительно упростить систему, уменьшив количество элементов на треть при сохранении общей производительности[65]. Хрусталик человеческого глаза является примером GRIN-линзы с показателем преломления, изменяющимся от примерно 1,406 во внутреннем ядре до примерно 1,386 в менее плотной коре[65].

Изображение дрожжевых клеток при дифференциальной интерференционной контрастной микроскопии.

Неокрашенные биологические структуры в основном кажутся прозрачными при микроскопии в светлом поле[en], поскольку большинство клеточных структур не ослабляют заметно свет[114]. Тем не менее, изменение материалов, из которых состоят эти структуры, также сопровождается изменением показателя преломления. Следующие методы преобразуют такие вариации в измеримые разности амплитуд: фазово-контрастная микроскопия, фазово-контрастная рентгеновская визуализация, количественная фазово-контрастная микроскопия.

Для измерения пространственного изменения показателя преломления в образце используются методы фазово-контрастной визуализации. Эти методы позволяют детектировать изменения фазы световой волны, выходящей из образца. Фаза пропорциональна оптической длине пути, пройденной световым лучом, и, таким образом, даёт меру интеграла от показателя преломления вдоль пути луча[115]. Фазу нельзя измерить непосредственно на оптических или более высоких частотах, поэтому её необходимо преобразовать в интенсивность путём интерференции с опорным лучом. В видимом диапазоне спектра это делается с помощью фазово-контрастной микроскопии Цернике, (ДИК) или интерферометрии[116].

Фазово-контрастная микроскопия Цернике добавляет фазовый сдвиг в низкочастотные пространственные компоненты изображения с помощью фазовращательного кольца в плоскости Фурье[en] образца, так что высокочастотные части пространственного изображения могут интерферировать с низкочастотными компонентами опорного луча[117]. В ДИК освещение разделяется на два луча, которые имеют разную поляризацию, по-разному сдвинуты по фазе и смещены в поперечном направлении относительно друг друга. После прохождения образца два пучка интерферируют, давая изображение производной оптической длины пути по разнице поперечного смещения[67]. В интерферометрии освещение разделяется на два луча частично отражающим зеркалом[en]. Один из лучей пропускается через образец, а затем они объединяются для интерференции и создания прямого изображения фазовых сдвигов. Если вариации оптической длины пути превышают длину волны, изображение будет содержать полосы[118][119][120].

Существует несколько [en] для определения двумерного или трёхмерного пространственного распределения показателя преломления образцов в рентгеновском спектре[121].

Электромагнитные волны являются решениями уравнений Максвелла, из которых можно получить волновое уравнение. Для пространства, заполненного веществом с неоднородным показателем преломления, решение во всём пространстве в виде плоских волн больше не существует, но, используя приближение геометрической оптики (коротковолновое приближение), можно получить приближённое решение уравнений Максвелла. Пусть электрическое поле представлено в виде плоской волны в малой области пространства как[122]

где E0r — медленно меняющаяся функция радиус вектора r, S(r) — неизвестная функция координат. Подставляя в уравнения Максвелла это выражение при условии, что волновое число k0 стремится к бесконечности, можно найти выражение для неизвестной функции

где Γ — траектория луча, v — фазовая скорость луча, L — оптическая длина пути[124].

Явления, возникающие вследствие зависимости показателя преломления от интенсивности света, включают такие эффекты, как самофокусировка, фазовая самомодуляция, обращение волнового фронта и генерация оптических солитонов[128]. Однако эти очень сложные проблемы нелинейной оптики возникают лишь в определённых условиях — при воздействии света очень высокой интенсивности и в средах, обладающих достаточно высокими коэффициентами нелинейности.

Фазовая скорость света в веществе может быть больше скорости света в вакууме (это не противоречит СТО, так как энергия и информация передаётся групповой скоростью, не превышающей скорости света). В таких случаях показатель преломления может быть меньше единицы. В оптическом диапазоне показатель преломления практически всегда больше единицы, однако в ультрафиолетовом, особенно в рентгеновском диапазоне показатели меньше единицы являются типичными[129].

Такие показатели преломления приводят к особым эффектам, например, вогнутые линзы для такого излучения работают как выпуклые и наоборот. Поскольку вакуум является оптически более непрозрачной средой, чем вещество, то при падении на вещество под малым углом рентгеновское излучение может испытывать полное внутреннее отражение[131]. Этот эффект используют в рентгеновских телескопах[132]

В отличие от идеальных сред, для реальных сред часто необходимо учитывать затухание сигнала при прохождении через них. Это удобно учесть, задав комплексный показатель преломления[51]:

Здесь действительная часть n — показатель преломления, которая связана с фазовой скоростью, в то время как мнимая часть κ называется показателем поглощения (действительная величина) света в веществе — хотя κ также может относиться к массовому коэффициенту поглощения[en][133] и указывать на величину ослабления электромагнитной волны при её распространении в среде[65].

То, что κ соответствует затуханию, можно увидеть, подставив этот показатель преломления в выражение для электрического поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в z-направлении. Это можно сделать, связав комплексное волновое число k с комплексным показателем преломления n через k = 2πn/λ0, где λ0 — длина волны света в вакууме. После подстановки комплексного показателя преломления в это уравнение[134]

экспонента распадётся на две, одна из которых имеет действительное отрицательное значение показателя. Таким образом, интенсивность света в веществе зависит от толщины по показательному закону. Здесь κ даёт экспоненциальное затухание, как и ожидалось из закона Бера — Ламберта. Поскольку напряжённость пропорциональна квадрату электрического поля, то она будет зависеть от толщины материала как exp (−4πκz/λ0), а коэффициент поглощения станет α = 4πκ/λ0[65]. Эта величина также связано с глубиной проникновения света в среду, расстояние, после которого интенсивность уменьшается до 1/e раз, δp = 1/α = λ0/4πκ).

И n, и κ зависят от частоты. В большинстве случаев κ > 0 (свет поглощается) или κ = 0 (свет распространяется бесконечно без потерь). В особых случаях, особенно в активной среде лазеров, также возможен случай κ < 0, что соответствует усилению света.

Альтернативное соглашение использует n = n вместо n = n + , но считается, что κ > 0 по прежнему соответствует потерям. Следовательно, эти два соглашения несовместимы, и их не следует путать. Разница связана с определением синусоидальной зависимости от времени как Re [exp (- iωt)] по сравнению с Re [exp (+ iωt)].

Диэлектрические потери и отличная от нуля проводимость по постоянному току в материалах вызывают поглощение. Хорошие диэлектрические материалы, такие как стекло, имеют чрезвычайно низкую проводимость по постоянному току, а на низких частотах диэлектрические потери также незначительны, что приводит к почти полному отсутствию поглощения. Однако на более высоких частотах (например, в видимом свете) диэлектрические потери могут значительно увеличить поглощение, снижая прозрачность материала в области этих частот.

Действительная n и мнимая κ части комплексного показателя преломления связаны соотношениями Крамерса — Кронига. В 1986 году А. Р. Форухи и И. Блумер вывели уравнение, описывающее κ как функцию энергии фотона E, применимое к аморфным материалам. Затем Форухи и Блумер применили соотношение Крамерса — Кронига, чтобы вывести соответствующее уравнение для n как функции E[en]. Тот же формализм был использован для кристаллических материалов Форухи и Блумером в 1988 году.

Для рентгеновского и экстремального ультрафиолетового[en] излучения комплексный показатель преломления незначительно отклоняется от единицы и обычно имеет действительную часть меньше единицы. Поэтому обычно записывается как n = 1 − δ + (или n = 1 − δ с альтернативным соглашением, упомянутым выше)[2]. Значительно выше атомной резонансной частоты дельту можно определить как

В атмосферных приложениях коэффициент преломления принимается равным N = n — 1. Атмосферная рефракция часто выражается как N = 106 (n — 1)[135] или N = 108 (n — 1). Коэффициенты умножения используются, потому что показатель преломления для воздуха, n отклоняется от единицы не более чем на несколько частей на десять тысяч.

С другой стороны, молярная рефракция является мерой общей поляризуемости одного моля вещества и может быть рассчитана на основе показателя преломления как

Для диэлектрической проницаемости в модели Лоренца можно записать диэлектрическую проницаемость в виде[139]

где γ — коэффициент затухание колебаний. Для металлов, где присутствуют свободные носители заряда частоту ω0 можно не учитывать и диэлектрическая проницаемость представляется в виде[140]

Массив кольцевых разомкнутых резонаторов имеющий отрицательный показатель преломления для микроволнового излучения

Уравнения Максвелла имеют физические решения для сред с отрицательным коэффицикнтом преломления, то есть, когда диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость имеют одновременно отрицательные значения. В этом случае закон Снеллиуса также выполним, но угол преломления станет отрицательным[141]. Материалы, которые демонстрируют отрицательную рефракцию можно создать искусственно, с помощью обычных материалов с положительным коэффициенот преломления, но каким-то образом изменённой геометрией поверхности или объёма среды, например, в периодических фотонных кристаллах. Такие материалы называются метаматериалами и демонстрируют необычные свойства в определённом диапазоне частот. Возникающая в результате изменения среды отрицательная рефракция в метаматериалах даёт возможность для развития применений суперлинз и других новых явлений[142][143]. Главные концепции об отрицательном коэффициенте преломления появились в трёх работах:

Показатели преломления nD (жёлтый дублет натрия, λD = 589,3 нм) некоторых сред приведены в таблице.

Плазма обладает коэффициентом прохождения, который зависит от концентрации свободных электронов, причём квадрат индекса меньше единицы[151]

где θ — угол между ориентацией магнитного поля и волновым вектором. «+» соответствует обыкновенной волне (вектор электрического поля вращается по часовой стрелке, если смотреть вдоль вектора распространения волны), «-» — необыкновенной волне (вектор электрического поля вращается против часовой стрелки). Наличие двух волн с разными поляризациями приводит к сдвигу фаз между ними. Измеряя поворот плоскости поляризации для различных длин волн можно измерять магнитные поля галактик[151].

Понятие показателя преломления применяется во всем электромагнитном спектре, от рентгеновских лучей до радиоволн. Его также можно применить к волновым явлениям, таким как звук. В этом случае вместо скорости света используется скорость звука, и необходимо выбрать среду сравнения, отличную от вакуума[155]. Для преломления звука на границе двух изотропных сред также выполняется закон Снеллиуса[156]

где углы θ1 и θ2 соответствуют углам падения и преломления, а волновые вектора k1 и k2 соответствуют падающей и преломлённой волнам. Это выражение получается из рассмотрения плоских волн падающих на плоскую границу раздела изотропных сред, где выполняются граничные условия: непрерывность давления и непрерывность нормальной компоненты скорости частиц среды. Соответствующий коэффициент преломления выражается в виде n=k2/k1[157].

Уравнение эйконала возникает в электродинамике при рассмотрении приближения геометрической оптики, когда свойства среды меняются медленно на расстояниях сравнимых с длиной волны. Это приближение применяется в электродинамике, акустике, гидродинамике, квантовой механике и других науках[158]. Уравнение Гельмгольца для звука описывает амплитуду потенциала скоростей среды

где k=ω/c0, показатель преломления n(r)=c0/c(r), c0 — характерная скорость звука, c(r) — скорость звука в точке r среды. Для нерелятивистского уравнения Шрёдингера для искомой волновой функции также можно получить аналогичное уравнение[159]

где ψ(r) называется эйконалом и подставить в уравнение Гельмгольца, то можно написать два уравнения для неизвестных величин[161]

где θ=0° — угол луча по отношению к поверхности. В этом случае рефракция увеличивает расстояние прямой видимости, а при достаточно большом градиенте, когда радиус кривизны меньше радиуса Земли возникает сверхрефракция, что увеличивает дальность радиосвязи[165]. Для звука эффект рефракции тоже наблюдается. Если коэффициент преломления звука с высотой уменьшается (из-за уменьшения температуры), то угол наклона звукового луча отклоняются вверх в соответствии с законом Снеллиуса. В противном случае (холодный воздух у поверхности) при безветренной погоде вечером над поверхностью воды звуковой луч отклоняется вниз, что увеличивает расстояние слышимости[166].

Другие частицы, как и свет демонстрируют схожие свойства траекторий при движении в силовых полях. Наиболее тесная связь между ними раскрывается в соответствии между принципом Ферма для фотонов и принципом наименьшего действия для движения частиц[167]. Если использовать естественную параметризацию траектории частицы, то есть перейти к переменной длины её дуги (ds=vdt), то действие для свободной частицы при движении из точки A в точку B запишется в виде[168]

где v — скорость частицы, m — её масса. Выражение для интеграла в принципе Ферма отличается наличием показателя преломления вместо скорости (ур. 7.8). Такая формальная аналогия нашла применение при рассмотрении движения заряженных частиц в неоднородных электрических и магнитных полях и получила название электронной оптики[168]. Более прозрачной аналогия становится при рассмотрении перехода электрона из области с одной потенциалом в область в другим потенциалом. Это естественным образом изменяет кинетическую энергию и скорость электрона, что аналогично изменению фазовой скорости света при переходе в среду с другим показателем преломления. Если потенциал принимает разные значения в двух полупространствах с плоской границей, то можно рассмотреть задачу о падении частицы на границу. Тангенциальная скорость электрона останется неизменной, а нормальная к границе — поменяется, что приведёт к возникновению преломлению[169]

где i и r — углы падения (отсчитанная от нормали) и преломления, v1 и v2 — начальная и конечная скорости электрона. Для закона Снеллиуса (ур. 1.1) скорости входят в обратном соотношении. Здесь можно ввести коэффициент преломления, полученный из закона сохранения энергии в виде[169]

где φ1 и φ2 — потенциал в первой и второй областях полупространства, T — начальная кинетическая энергия, e — заряд электрона. Неоднородное электрическое поле формирует эффект линзы для электронов, что применяется в электронных микроскопах[170].

Для других заряженных частиц формальная аналогия также работает. Для релятивистского движения ионов и электронов в электромагнитном поле также используется принцип наименьшего действия, а коэффициент преломления зависит от направления движения. Электронная и ионная оптика нашли применение в создании микроскопов, установок для ионного травления, фокусирующих систем для ускорителей заряженных частиц[171].

Для достаточно чистых материалов электроны в твёрдом теле ведут себя как баллистические[en], поэтому эффекты электронной отпики могут проявляться и в высокодвижном электронном газе. В частности для электронов в графене наблюдается аналог преломления с отрицательным показателем преломления на границе p—n-перехода, котоорый называется линзой Веселаго[172].

Аналогия Гамильтона между движение частиц и светом в среде с неоднородным индексом послужила основанием для возникновению геометрической оптики для холодных нейтронов, которую рассмотрел Ферми в 1944 году, когда обнаружил, что из-за взаимодействия нейтронов с ядрами вещества, можно рассмотреть нейтронную волну распространяющуюся в среде с соответственным показателем преломления близким в единице[173].

Для измерения показателя преломления можно использовать несколько оптических метрологических приборов[fr]. Эти инструменты включают, среди прочего, рефрактометры, которые представляют собой тип интерферометра с оптическими путями проходящими в разных средах, один — в вакууме, а другой — в измеряемом материале, гониометры для измерения углов, определённые призмы и так далее. Использование этих методов актуально для исследования прозрачных материалов. Точность измерений рефрактометров варьируется от 10−3% для обычных до 10−6% для интерферометрических типов приборов. Для анализа необходимо 0,05 — 0,5 г вещества или для высокоточных измерений можно снизить массу до долей миллиграмма. Время измерения зависит от типа рефлектометра и может занимать от секунды до десятков минут[174].

Показатель преломления можно измерить с помощью V-призмы, когда образец прозрачного материала помещается в V-образную выемку стеклянного блока, индекс которого точно известен. Отклонение светового луча позволяет определить показатель преломления образца[175].

Гониометр позволяет измерять показатель преломления прозрачного материала по нескольким спектральным линиям. Призма из этого материала используется для измерения минимального угла отклонения на нескольких длинах волн[175].

Недостатком интерферометрических методов является то, что их трудно использовать на объектах сложных форм и они могут оказаться разрушительными, поскольку необходимо измерять образец с чётко определённой геометрией, что исключает, например, художественную стеклянную посуду[en]. В этих случаях используются измерения углов преломления, угла Брюстера или даже поиск жидкости с эквивалентным показателем преломления путём применения к дефектам, но обычно не позволяют достичь такой же высокой точности, как измерения с помощью гониометра или интерферометра[176].

Самым распространённым методом измерения показателя преломления является измерение угла полного внутреннего отражения. Преимуществами этого метода является малое количество вещества, необходимое для исследования, а также их компактность — например, в рефрактометре Аббе жидкость заливается в тонкую щель между гипотенузными гранями двух прямоугольных призм, имеющих высокий показатель преломления[177]. Этот метод позволяет достичь точности ± 0,0002[178][179]. По схожему принципу работает рефрактометр Пульфриха, но в нём наоборот, свет направляется параллельно границе раздела двух сред и измеряется угол, на который он отклонился.

Поскольку квантовая механика предсказывает, что частицы могут вести себя как волны, также возможно измерить показатель преломления волн материи. Такое измерение проводилось, в частности, на атомах лития и натрия с использованием интерферометрического метода[180].

Нелинейный показатель преломления можно измерить, наблюдая за фазовым сдвигом тестового светового луча путём перекрёстной фазовой модуляции[en] (ФКМ), но также благодаря эллиптическому вращению поляризации, анализу спектрального профиля волны или спектральному анализу при фазовой самомодуляции или возвращению к нелинейному показателю путём определения критической мощности самофокусировки. Также возможно измерение индекса с помощью спектральной интерферометрии суперконтинуумов[181].

Для мелких твёрдых частиц используют иммерсионный метод — частицы погружают в ряд жидкостей с известными показателями преломления и наблюдают за образующейся интерференционной картиной. Таким образом находится пара жидкостей, одна из которых будет иметь меньший показатель преломления чем исследуемое вещество, а вторая — больше[182].

Рефлектометрия с низкой оптической когерентностью — распространённый интерферометрический метод для определения пространственного распределения показателя преломления по измерению амплитуды и фазового сдвига отражённого сигнала от различных неоднородностей. Низкая когерентность позволяет наблюдать интерференцию только из малой области образца порядка длины когерентности. Групповой индекс определяет задержку сигнала в результате чего вычисляется расстояние до места отражения. Метод применяется в биологии и медицине[183]. Другой областью применения этого метода является дефектоскопия оптических волокон[184].

Показатели преломления и поглощения n и κ не могут быть измерены напрямую для тонких плёнок. Они должны определяться косвенно из измеряемых величин, которые зависят от них. Например, таких как [en], или эллипсометрические параметры, ψ и δ. Схема эллипсометра представлена на рисунке справа. Свет от источника проходит через монохроматический фильтр и коллиматор и поляризуется призмой, то есть падающий свет представляет собой линейно поляризованную волну, которую можно разделить на две поляризации относительно плоскости падения: s- (перпендикулярная плоскости падения и параллельная плоскости образца) и p-компоненты (лежащая в плоскости падения). После отражения от поверхности свет проходит через анализатор и регистрируется детектором. Компенсатор служит для изменения фазового сдвига между s- и p-компонентами. Изменяя ориентацию анализатора можно получить информацию об коэффициенте отражения s-волны и p-волны[185]. Относительная разность фаз между s- и p- компонентами равна[186]

где δs и δp — фазовые постоянные для падающего света соответствующие s- и p-компонентам, а штриховые величины относятся к отражённой волне. Относительное изменение амплитуд описывается формулой

где Es и Ep — амплитуды для падающего света соответствующие s- и p-компонентам, а штриховые величины относятся к отражённой волне. Основное уравнение эллипсометрии запишется в виде

где Rs и Rp — коэффициенты отражения соответствующие s- и p-компонентам волны. Эти параметры устанавливаются из модели для отражающей поверхности с использованием формул Френеля[186]. Подгоняя теоретическую модель к измеренным значениям ψ и Δ с помощью математического, можно получить значения n и κ[187].

Показатель преломления — важнейший параметр элементов оптической системы. От него зависит устройство и функционирование оптических и оптоэлектронных приборов. Изучение оптических констант полупроводников даёт информацию о строении их зонной структуры[188]. Для оптических систем важна прозрачность и минимальные потери света, поэтому для этих целей используют бесцветное оптическое стекло. Для ультрафиолетовой и инфракрасной областей спектра используют кварцевое оптическое стекло, которое также обладает низким температурным коэффициентом расширения; также используют кристаллы фтористого лития и флюорита. Цветные стёкла применяют для производства светофильтров[189].

Коэффициент отражения материала определяется показателем преломления, но покрытие оптических элементов материалами с другими индексами допускает модификацию отражения света с использованием интерференции при многократном отражении от границ раздела, что используется в просветляющих покрытиях для оптических стёкол. Кроме того также многократные покрытия используется при цветоделительных покрытий, интерференционных фильтров и так далее. Просветляющее покрытие помогает уменьшить отражение в пять раз в видимой области спектра[190]. В общем, чем большее число слоёв используется, тем для более широкой области частот можно добиться просветления, но практически применяют не более трёх слоёв[191]. Полупроводники обладают сильным отражение от границы раздела в воздухе, в результате чего теряется 60 % до 70 % падающего на солнечную панель излучения. Для сохранения этой энергии используется просветляющее покрытие из менее оптически плотного материала (в основном оксидов титана или кремния, нитрида кремния)[192].

В офтальмологии отклонение показателя преломления от стандарта в хрусталике или стекловидного тела сказывается на зрении человека, в результате проводится рефрактометрия оптической системы глаза для выявления дефектов и способов лечения[193].

Количественная фазово-контрастная микроскопия[en] даёт возможность измерять трёхмерное распределение индекса в неоднородных жидкостях, таких как кровь, что позволяет использовать её для наблюдения за живыми клетками и тканями и определять, например, концентрацию гемоглобина в крови, зная распределение показателя преломления. Некоторые клетки рептилий достаточно велики для этого метода исследований[194].

Поскольку показатель преломления является одним из основных физических свойств вещества, он используется для идентификации вещества, определения его чистоты или измерения его концентрации. Таким образом исследуются твёрдые тела (стекла, кристаллы и драгоценные камни), газы и жидкости. Часто на основе показателя преломления проверяется концентрация веществ в жидких растворах. Инструмент, используемый для измерения показателя преломления — рефрактометр. Для растворённого сахара в воде доступны калибровочные таблицы[195]. Помимо сахара рефрактометрия растворов на основе воды или других жидкостей используется для количественного определения концентрации растворённых веществ, таких как кислот, солей, этилового спирта, глицерина, для определения содержания белка в крови и других[177]. Для определения чистоты и подлинноси веществ в фармакологии используют рефрактометры откалиброванные для D-линии натрия (nD), имеющие точность измерения показателя преломления лучше чем ±2⋅10−4[196].

Существование угла полного внутреннего отражения позволяет использовать этот эффект для построения световых волноводов или оптоволокна, состоящих из сердцевины и оболочки с более низким показателем преломления, для волоконно-оптической связи. Чаще всего используют материалы с индексами 1,62 и 1,52. Стеклянное оптоволокно представляет собой волокна с диаметром от 5 до 200 микрометров[197]. Возможно использовать многомодовые волокна с градиентным изменение профиля показателя преломления в зависимости от диаметра оптоволокна[198].

Оптоволокно оказалось полезным для использования в оптоволоконных лазерах. В 1990-е годы был создан эрбиевый четырёхваттный лазер[199], а после 2000 года иттербиевые лазеры, показали значительный рост мощности[200].

При добавлении серебра в оптическое стекло его свойства могут изменяться при облучении ультрафиолетом — происходит затемнение, которое может исчезать после прекращения облучения. Этот эффект используется при производстве стёкол для очков с затемняемыми стёклами[201]. Очки-хамелеоны просветляются в помещениях, где нет ультрафиолета.

Процесс записи информации об амплитуде, фазе и направлении светового когерентного поля, называемый голографией формирует на фотопластине дифракционную решётку, представляющею собой трёхмерную среду с модулированным комплексным показателем преломления. Голография используется в основном для получения трёхмерных изображений[202].

Помещая объектив микроскопа в среду с более высоким показателем преломления (масло) возможно увеличить числовую апертуру, что позволяет повысить разрешение микроскопа[203]. Это подход используется также в иммерсионной литографии[204].

Кристаллы, в которых наблюдается двулучепреломление могут быть использованы для генерации второй гармоники, так как при некоторой ориентации распространения волны коэффициенты преломления для обыкновенного и необыкновенного луча совпадают, то позволяет синхронизировать фазы первой и второй гармоники для максимального преобразования. Это явление наблюдается в сегнетоэлектриках и называется естественным синхронизмом[205].

Американский художник Стефен Кнапп[en] работал в стиле светографики с использованием цветного стекла и призм, создавая призматические инталляции на протяжении своей карьеры[206]. Известным применением дисперсии в искусстве является обложка альбома The Dark Side of the Moon британской рок-группы Pink Floyd[207]. Трассировка лучей в 3D графике при прохождения ими прозрачных сред и отражения от зеркальных поверхностей является важным примером использования показателя преломления для достижения фотореализма[208][209][210].

При наличии одного слоя на картине существует возможность проявления его при написании новой картины поверх старой — этот эффект называется pentimento[en]. При покрытии глазурью поверхности картины она может нежелательно изменить цвет полотна со временем. Различные цвета природных и химических красителей (пигментов) могут быть прозрачными и непрозрачными, они имеют различающиеся индексы и влияют на цветопередачу при нанесении покрытия в несколько слоёв. Белые пигменты такие как оксид титана и цинка имеют показатель преломления более 2 и способны хорошо отражать свет. Высокие показатели преломления, поглощения приводят к хорошей укрывистости. Чёрные краски поглощают больше света, поэтому превосходно скрывают более глубокие слои краски, а цветные пигменты более светлых тонов пропускают больше света, поэтому возможно появление отражения от более глубокого слоя и изменение цвета поверхностного слоя краски. Показатель преломления льняного масла меняется со временем с 1,479 до более чем 1,525 примерно за десять лет, поэтому такая краска может терять укрывистость. Эффект pentimento можно наблюдать на картинах старых мастеров, например, на картине Питера Пауля Рубенса «Чудеса святого Франциска из Паолы»[211].

Прозрачные художественные масляные краски состоят из пигмента и связующей основы обладают схожими покателями преломления в диапазоне от 1,4— до 1,65. Такие краски при прохождении в них света окрашивают его благодаря поглощению пигментами и отражаются от хорошо отражающего грунта (нижнего слоя) изображения. Тип освещения влияет на цвета красок[212].

Первым из европейцев, кто изучал преломление света, был Архимед. Исследуя преломление на границе воды с воздухом, он правильно описал несколько законов преломления и зрения (например, то, что падающий и преломлённый луч лежат в одной плоскости, а люди воспринимают изображение так, будто лучи света всегда распространяются прямолинейно). Также он установил, что угол преломления всегда меньше угола падения (когда луч падает из воздуха в воду)[213]. Рефракцию атмосферы заметил Гиппарх при наблюдении лунного затмения, при котором Солнце та же было наблюдаемо над горизонтом[213].

Через 100 лет после Архимеда вопрос рефракции изучал другой выдающийся античный учёный Птолемей. Его модель рефракции включала сферическую атмосферу постоянной плотности и конечной толщины. Он также измерял углы преломления при переходе света между воздухом и водой, воздухом и стеклом, водой и стеклом, пытаясь найти зависимость между ними, однако считал, что такая зависимость имеет вид квадратичной функции, поэтому выведенное им уравнение лишь приближённо описывало законы преломления[213]. Впрочем, это было первое математическое уравнение для этого процесса. В формуле Птолемея присутствовал аналог показателя преломления — число, зависело от пары сред и определяло зависимость угла падения от угла преломления. Птолемей связывал сильное преломление с разницей плотности сред. Также он, анализируя видимое движение звёзд, сделал правильное предположение, что свет испытывает преломление при переходе в атмосферу из окружающего пространства, подобно преломлению при переходе из воздуха в воду (а следовательно, что показатель преломления воздуха отличается от такового для пустоты), однако не смог описать это явление количественно[214].

Правильно сформулировать закон преломления впервые смог персидский учёный Ибн Сахл[en] в 984 году. Этот закон не был востребовал последующими арабскими учёными, а его работы не были известны в Европе, поэтому сейчас этот закон известен как закон Снеллиуса в честь Виллеброрда Снелла, который открыл его в 1621 году. Другой арабский учёный 10-11 веков, чьи работы повлияли на европейскую оптическую науку был Ибн аль-Хайсам, который также как и Ибн Сахл занимался сферическими линзами, но также рассматривал модель атмосферы Птолемея для объяснения увелечения размера видимых небесных тел (иллюзия Луны), находящихся около горизонта. Он также смог оценить толщину (86,3 км) атмосферы по свету звёзд за скрывшихся за горизонтом[213]. Количественно измерить атмосферную рефракцию смог Тихо Браге в 1587 году[215].

В 1658 году Пьер Ферма сформулировал принцип наименьшего времени, который позволил связать преломление на границе сред со скоростью света в них[216].

Развивая проведённые Ньютоном исследования дисперсии, в 1802 году Волластон, а позже, независимо от него, Фраунгофер в 1814 году создали спектроскоп и наблюдали тёмные линии в спектре Солнца и звёзд[220].

Томас Янг предположительно был первым человеком, который использовал и изобрёл название «показатель преломления» в 1807 году. В то же время он изменил это значение преломляющей силы на одно число вместо традиционного отношения двух чисел. У этого соотношения был недостаток, заключающийся в различии внешнего вида. Ньютон, назвавший это «пропорцией синусов падения и преломления», записал это как отношение двух чисел, например «529 к 396» (или «почти 4 к 3» для воды). Хоксби, назвавший это «коэффициентом преломления», записал его как отношение с фиксированным числителем, например «от 10000 до 7451,9» (для мочи)[221]. Хаттон записал это как отношение с фиксированным знаменателем, например 1,3358 к 1 (вода).

В 1807 году Янг не использовал символ для показателя преломления. В более поздние годы другие начали использовать другие символы: n, m и µ[222][223][224]. Символ n постепенно возобладал. В 1913 году был открыт эффект двулучепреломления Зеебеком, и независимо от него Брюстером в 1915 году[225].

В период с 1869 до 1875 год датский физик Людвиг Лоренц сформулировал в нескольких работах теорию, которая связывала показатель преломления с микроскопическими свойствами веществ — электронной поляризуемостью. Такой же результат в 1878 году независимо получил голландский физик Хендрик Лоренц, который не был знаком с работами Людвига Лоренца, поскольку те были написаны на датском языке. Выведенное ими уравнение известно как формула Лоренца — Лоренца. В 1875 году Керр наблюдал двойное лучепреломление для изотропных веществ (жидкие диэлектрики) помещённых в электрическое поле, а годом позже обнаружил магнитооптический эффект в изотропной среде[109]. Оба эти эффекты являются проявлениями нелинейной оптики. В 1910 году Ланжевен построил теорию эффекта Керра[230].

Кундт измерил комплексный коэффициент преломления для металлов в 1888 году, а теорию отражения от поверхнности металлов, основываясь на формулах Френеля, построил Друде годом позже[231].

В 1933 году Вуд открыл прозрачность щёлочных металлов в области ультрафиолетовых частот[140]. Стекло может изменять индекс при облучении ультрафиолетом, этот эффект был открыт и запатентован в 1937 году Дональдом Стуки[en][232].

В 1947 году Габор построил теорию получения информации о фазе волны на фотографии, но не смог реализовать построение такого изображения из-за отсутствия когерентных источников излучения. После создания лазеров ы 1964 году Эмметт Лейт и Юрис Упатниекс записали первую голограмму изобразившую игрушечные поезд и птицу[233]. В СССР в 1962 году Юрий Денисюк предложил использовать голографию Габора и метод цветной фотографии Липпмана, где используется три монохроматических лазера основных цветов, чтобы получить цветную голограмму[234]. Габор получил Нобелевскую премию по физике в 1971 году[235].

В 1961 году Элиес Снитцер[de] и Уилл Хикс (англ. Will Hicks) продемонстрировали передачу лазерного излучения по оптоволокну[236]. В 1964 году Снитцер создал первый лазер, в качестве рабочей среды которого использовалось оптическое волокно, легированное неодимом[237]. Слабое затухание в оптических волоках позволило использовать их как средство передачи сигналов на большие расстояния[238].

В 1967 году В. Г. Веселаго высказал гипотезу о существовании материалов с отрицательным значением показателя преломления[239]. В 1999 году Джон Пендри из Имперского колледжа в Лондоне предложил конструкции искусственных материалов, обладавших отрицательными эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей[145][146]. В 2000 году Дэвид Смит[en] с коллегами из Калифорнийского университета в Сан-Диего, использовав комбинацию элементов конструкций Джона Пендри и его рекомендации, экспериментально доказал возможность реализации искусственных материалов с отрицательным значением показателя преломления[145][146][240].