Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734—1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид:

Начиная с 1743 года к работам Эйлера присоединился Д'аламбер, открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё не создали сколько-нибудь завершённой теории.

Второй этап в развитии данной темы можно датировать 1770—1830 годами. К этому периоду относятся глубокие исследования Лагранжа, Коши и Якоби. Первые систематические исследования уравнений в частных производных начал проводить Фурье. Он применил новый метод к решению уравнения струны — метод разделения переменных, позднее получивший его имя.

Новый общий подход к теме, основанный на теории непрерывных групп преобразований, предложил в 1870-х годах Софус Ли.

В конце XIX века понятие дифференциального уравнения в частных производных было обобщено на случай бесконечного множества неизвестных переменных (уравнение в частных функциональных производных).

Задачи доказательств существования и нахождения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются с использованием теории гладких многообразий, дифференциальной геометрии, коммутативной и гомологической алгебры[1]. Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения[1].

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара — Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши — Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение[3]. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви[de], 1957). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных доказательства существования решений и поиск многообразий всех решений проводятся с использованием теории гладких многообразий, дифференциальной геометрии, коммутативной и гомологической алгебры[1]. Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения[1].

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне относится к параболическому типу и имеет вид

Уравнение эллиптического типа. Его решения называются гармоническими функциями.

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для уравнения колебаний струны:

Поскольку нахождение аналитического решения даже простого уравнения в сложной области не всегда возможно, то было разработано множество методов решения уравнений математической физики. Некоторые из них основываются на аппроксимации дифференциального оператора некоторыми выражениями, другие сводят задачу к проекционной или вариационной и решают её, некоторые из часто используемых численных методов:

У каждого из методов свои особенности и свои классы решаемых задач. Например решение методом конечных разностей уравнения колебаний может быть получено с использованием следующей разностной схемы: