Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема.

Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления[2]. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема.

Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи.

Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде.

Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[4].

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[5].

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)[6].