Алгебраическая поверхность

Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие, если оно неособо), а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.

Теория алгебраических поверхностей существенно более сложна, чем теория алгебраических кривых (включая компактные римановы поверхности, которые являются подлинными поверхностями (вещественной) размерности два). Однако много результатов было получено итальянской школой алгебраической геометрии уже почти сто лет назад.

Первые пять примеров фактически бирационально эквивалентны. То есть, например, поле рациональных функций на кубической поверхности изоморфно полю рациональных функций на проективной плоскости, которое является полем рациональных функций от двух переменных. Декартово произведение двух кривых также является примером.

Бирациональная геометрия алгебраических поверхностей богата ввиду преобразования «раздутие» (которое известно также под названием «моноидальное преобразование»), при котором точка заменяется кривой всех ограниченных касательных направлений в ней (проективной прямой). Некоторые кривые могут быть стянуты, но существует ограничение (индекс самопересечения должен быть равен −1).

Базовыми результатами в теории алгебраических поверхностей являются и разбиение на пять групп классов рациональной эквивалентности, которое известно как классификация Энриквеса — Кодаиры или классификация алгебраических поверхностей. Класс общего типа с 2 очень большой (например, в нём находятся неособые поверхности степени 5 и выше в P3).

Существует три основных числовых инварианта Ходжа для поверхности. Среди них h1,0, который называется иррегулярностью и обозначается как q, и h2,0, который называется геометрическим родом pg. Третий инвариант, h1,1, не является , поскольку раздутие может добавить полные кривые из класса H1,1. Известно, что являются алгебраическими и что совпадает с гомологической эквивалентностью, так что h1,1 является верхней границей для ρ, ранга . pa равен разности

Этот факт объясняет, почему иррегулярность так названа, так как является своего рода «остаточным членом».